波の干渉


さてさて、昨日の続きとまいりましょー

今回は音波ではなく、光について議論します。

 

光源1,2から発せられる光をそれぞれ以下のように表現する。

  • y_1=a_1\sin\theta_1
  • y_2=a_2\sin\theta_2

これらの合成波は y=y_1+y_2=a_1\sin\theta_1+a_2\sin\theta_2

以下ベクトルを用いる

  • \vec{a}_1=a_1\left(\begin{array}{cc}\cos\theta_1 \\\sin\theta_1 \\\end{array}\right)
  • \vec{a}_2=a_2\left(\begin{array}{cc}\cos\theta_2 \\\sin\theta_2 \\\end{array}\right)

これに対して\vec{a}_1+\vec{a}_2=\vec{a}=a\left(\begin{array}{cc}\cos\theta \\\sin\theta \\\end{array}\right)を考えると

  • a_1\cos\theta_1+a_1\cos\theta_2=a\cos\theta
  • a_1\sin\theta_1+a_1\sin\theta_2=a\sin\theta

したがって合成波の振幅はaである。

 

a^2=|vec{a}_1+vec{a}_2|^2

={a_1}^2+{a_2}^2+2\vec{a}_1\cdot\vec{a}_2

={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2(\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)

={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2\cos\phi(位相差:\phi=\theta_1-\theta_2

 

 

ここで、親しみやすいように例を挙げてみましょう。

光源1,2から観測点pまでの距離をそれぞれl_1,l_2とおくと、このとき

  • \theta_1=\omega (t-\frac{l_1}{c})+\alpha_1=\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}l_1+\alpha_1
  • \theta_2=\omega (t-\frac{l_2}{c})+\alpha_2=\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}l_2+\alpha_2

したがって、\phi=-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)+(\alpha_1-\alpha_2)

これゆえ、よく高校の教科書には『干渉は行路(光路)差で決まる!』と書かれてるんですねw

 

 

\phiが確定値を持つとき

\cos\phi=1\Longleftrightarrow \phi=2m\pi (m:整数)のとき

a_{max}= a_1 + a_2

したがって2つの波は強めあう

\cos\phi=-1\Longleftrightarrow \phi=(2m+1)\pi のとき

a_{min}= |a_1-a_2|

したがって2つの波は弱めあう

 

\phiがランダムに変動し確定値を持たないとき

二つの波は干渉せず、観測値としては

\bar{a^2}={a_1}^2+{a_2}^2+2a_1a_2\bar{\cos\phi}={a_1}^2+{a_2}^2

 

 

なお、別光源の光は\phi=-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)+(\alpha_1-\alpha_2)において、

-\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2)はpにより定まるが、

\alpha_1-\alpha_2は常にランダムに変化する。

したがって干渉することは無い。

 

 

こんな感じですかね。

皆さん、頑張って波の干渉習得しましょう!

(特に自分自身・・・・)

波の表現


二体問題に続きまして、今回は波の表現に関して残しておきます。

波って結構苦手な人多いんですよね~

・・・・・私もそうですww

 

ひとまず、波とは振動が媒質を伝わる現象です!

 

ここで、音叉の出す音波を以下のように表現します。

y_{0(t)}=a\sin(\omega t+\alpha)

ただし、振幅:a>0 かつ 音速:cは一定とする。

 

時刻t'の音叉(位置:0)の振動が、時刻tに観測者(位置:x)に届いたとすると、振幅の減衰率をrとして

  • y_{(x,y)}=ry_{0(t')}=ra\sin(\omega t'+\alpha)
  • t=t'+\frac{x-0}{c}

よって

y_{(x,y)}=ry_{0(t')}

=ra\sin\{\omega (t-\frac{x}{c})+\alpha\}\equiv A\sin\theta_{(x,t)}

 

波長を\lambdaとすると、

\omega\frac{\lambda}{c}=2\pi

\lambda=c\frac{2\pi}{\omega}=cT(T:周期)

したがって

y_{(x,y)}=A\sin(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x+\alpha)とも表せる。

 

 

波の続きはまた明日ノシ

二体問題


本日は初の生苑田先生の授業を受けてきました!!

前々から某束進ハイスクールで高いお金を取られながら見ていた、あの受験物理界の代表ともいえる方!

苑田尚之先生の授業を目の前で見られるとは・・・

まあ分かるとは思いますが、私は苑田教(?)信者ですww

とか名乗っときながら、しっかりと物理が押さえられているのかと問われれば・・・ なんとも答えられないことがお恥ずかしい限りですorz

 

 

ひとまず今日は二体問題についてのさらりとした説明を残しておきます。

まず、質量m_1,m_2の質点M_1,M_2の位置ベクトルをそれぞれ\vec{r}_1,\vec{r}_2、加える外力を\vec{f}_1,\vec{f}_2と置く。

このとき、M_1M_2に及ぼされる力を\vec{F}_{12}と表すことにする。

それぞれの質点に対して運動方程式を立てると、

  • m_1 \ddot{\vec{r}_1} = \vec{F}_{12} + \vec{f}_1  ・・・①
  • m_2 \ddot{\vec{r}_2} = -\vec{F}_{12} + \vec{f}_2  ・・・②
これは、重心位置\vec{r}_G = \frac{m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2} と相対位置\vec{r}_r = \vec{r}_1 - \vec{r}_2を用いると、
①+②より
重心運動方程式:m_1 \ddot{\vec{r}_1} + m_2 \ddot{\vec{r}_2} = \vec{f}_1+ \vec{f}_2
これは、代表点(重心)の運動と解釈できる。
また、①/m_1 - ②/m_2より
\ddot{\vec{r}_1}-\ddot{\vec{r}_2}=(\frac{1}{m_1}-\frac{1}{m_2})\vec{F}_{12}+\frac{\vec{f}_1}{m_1}-\frac{\vec{f}_2}{m_2}
したがって
相対運動方程式:\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\ddot{\vec{r}_r} =\vec{F}_{12}+\frac{m_2\vec{f}_2-m_1\vec{f}_1}{m_1+m_2}
このとき、\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}=\mu:換算質量という
重心運動と相対運動に分けて考えるとき、重心から見たM_1,M_2の位置をそれぞれ\vec{r}_{G1},\vec{r}_{G2}とすると、
  • \vec{r}_1-\vec{r}_G=\vec{r}_{G1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}_r
  • \vec{r}_2-\vec{r}_G=\vec{r}_{G2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}_r

ここで\vec{v}=\dot{\vec{r}}とおく。

このとき全運動量Pは、

P=m_1\vec{v}_2+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{v}_G

内部運動量をP_{in}は、

P_{in}=m_1\vec{v}_{G1}+m_2\vec{v}_{G2}

=m_1\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}_r+m_2\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}_r=\vec{0}

これより重心から見るとM_1,M_2は正反対側、反対向きに、質量の逆比の距離、速さで動いている。

また、\sum\vec{f}=\vec{0}のとき、P=一定 より \vec{v_G}=一定

 

 

全運動エネルギーKは、

K=\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2

=\frac{1}{2}m_1|\vec{v}_G+\vec{v}_{G1}|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_G+\vec{v}_{G2}|^2

=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\vec{v}_G}^2+(\frac{1}{2}m_1{\vec{v}_{G1}}^2+\frac{1}{2}m_2{\vec{v}_{G2}}^2)+\vec{v}_G(m_1\vec{v}_{G1}+m_2\vec{v}_{G2})

=K_G(重心K.E.)+K_{in}(内部K.E.)

 

ここで内部運動エネルギーは、

K_{in}=\frac{1}{2}m_1|\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{v}_r|^2+\frac{1}{2}m_2|\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{v}_r|^2

=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}{v_r}^2

(=\frac{1}{2}\mu{v_r}^2)

=K_r(相対K.E.)

 

 

まぁこんな感じですかなw